湍流平板

目的

该模型的研究一方面对于机翼阻力预测有直接帮助，另一方面可用来确认湍流模型数值模拟程序的精确度。该湍流平板模型被广泛应用于湍流模型验证确认。

背景

湍流是极为普遍的流动现象，自然界的流动绝大多数是湍流。过去人们认为湍流是完全随机的运动。后来逐步认识到，实际的湍流中还存在着一些非随机的成分，即拟序结构，也称相干结构，它是近代湍流研究的重大进展之一。随着计算机的计算速度和流体力学的日益发展，越来越多的湍流数值模拟结果揭示了各种实际湍流运动中湍流脉动的细节。湍流边界层和湍流混合层的直接数值模拟结果不仅证实了流动显示的拟序结构，而且给出了它们的定量数据。

湍流平板是提供湍流模型数值模拟最直接、最典型的算例。该湍流平板模型主要用于研究 Mach=0.2 的空气流经一个 0° 攻角的平板，边界层沿着平板逐渐发展，变为湍流的流场特性。

计算描述

来流参数

参数名	马赫数	单位雷诺数	攻角	侧滑角	温度
数值	0.2	5e6	0	0	300
单位	/	/ $m$	$^\circ$	$^\circ$	$K$

几何模型

湍流平板几何尺寸如图 1 所示，湍流平板的壁面开始于 X=0 处，终止于 X=2 处，平板长度为 2 米。

计算网格

网格来源于 NASA 湍流网站，维数为 545×385，附面层内对网格进行了加密，附面层厚度约为 0.06。非结构网格由结构网格转换而来，示意图如图 2 所示，网格单元总数为 208896，第一层高度为 5e-7m。

图1 NACA0012翼型非结构网格

其他参数设置

网格类型	参数	数值	备注
结构	viscousName	1eq-sa	湍流模型
	inviscidSchemeName	roe	空间离散方法
	str_limiter_name	smooth	结构限制器类型
	CFLEnd	100	终止 CFL 数
	tscheme	4(LU-SGS)	时间离散方法
	nLUSGSSweeps	4	LUSGS 中的前后扫描步数
	nMGLevel	1（单重）	多重网格数
非结构	viscousName	1eq-sa	湍流模型
	inviscidSchemeName	roe	空间离散方法
	uns_limiter_name	vencat	非结构限制器类型
	venkatCoeff	50	vencat 限制器系数
	CFLEnd	100	终止 CFL 数
	tscheme	4(LU-SGS)	时间离散方法
	nLUSGSSweeps	4	LUSGS 中的前后扫描步数
	nMGLevel	1（单重）	多重网格数

理论解

相关变量定义及计算公式如下：

Re_\theta = \frac{\rho_\infty U_\infty \theta}{\mu_\infty}

\theta = \int_0^\infty \frac{\rho}{\rho_\infty} \frac{u}{U_\infty} \left( 1 - \frac{u}{U_\infty} \right) dy

c_f = \frac{\tau_w}{\frac{1}{2} \rho_\infty U_\infty^2}

\tau_w = \mu_w \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)_w

u^+ = \frac{u}{v^*} = \frac{u}{\sqrt{\tau_w / \rho_w}}

y^+ = \frac{yv^*}{v_w} = \frac{y\sqrt{\tau_w / \rho_w}}{v_w}

其中，下标 $\infty$ 表示来流， $w$ 表示壁面； $\rho$ 、 $u$ 、 $\theta$ 、 $\mu$ 、 $\tau$ 、 $Re_\theta$ 、 $c_f$ 分别表示密度、流向速度、动量厚度、黏性系数、切应力、基于动量厚度的雷诺数和摩阻系数； $v^*$ 、 $u^+$ 、 $y^+$ 分别表示摩擦速度、基于摩擦速度的无量纲速度和无量纲法向壁面距离。

主要关注以下两条曲线:

壁面摩阻系数 $c_f$ 随雷诺数 $Re_\theta$ 的变化
$u^+$ 随 $\log_{10}(y^{+})$ 的变化（ $Re_\theta$ =1000）

对于 Ma=0.2 的湍流平板，提供了壁面摩阻系数、 $u^+$ 的理论解。其中壁面摩阻系数，用的是 K-S 理论解（来源于 "Schoenherr, K. E., Trans. SNAME. 40:279-313, 1932" 的 Karman-Schoenherr 关系式)； $u^+$ 相对 $$ \log_{10}(y^{+})$$ 的对比曲线，来源于 Coles 理论解（Coles, D., RAND Corp Rept. R-403-PR, 1962）。

c_f = \left(17.08(\log_{10} \mathrm{Re}_\theta)^2 + 25.11(\log_{10} \mathrm{Re}_\theta) + 6.012\right)^{-1}

u^+ = \frac{1}{\kappa} \ln(y^+) + C + \frac{2\Pi}{\kappa} \left[\sin\left(\frac{\pi y}{2\delta}\right)\right]^2

其中， $\kappa$ 为冯卡门常数， $\Pi$ 为型面参数。

计算结果

（a）壁面摩擦系数

（b）u+相对log10(y+)的变化

图3 NASA网站CFL3D计算结果与理论值对比

（a）壁面摩擦系数

（b）u+相对log10(y+)的变化

图4 风雷计算结果与理论值对比

（a）CFL3D流场图

（b）FUN3D流场图

图5 流场对比:(a)CFL3D,(b)FUN3D

（a）PHenglEI_str

（b）PHenglEI_unstr

图5 流场对比:(c)PHenglEI_str,(d)PHenglEI_unstr

参考来源

代码版本

PHengLEI2406.v1217

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